Facultad de Odontología Patología Oral / General / Bioestadística / Cariología Unidades de autoaprendizaje Autor: Dr. Benjamín Martínez R.

Anova

ANALISIS DE VARIANZA – ANOVA

ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VIA

INTRODUCCION

ANOVA, del inglés ANalysis Of VAriance, es un test estadístico ideado por Fisher, gran genio inglés que pensó hace más de 60 años como analizar datos simultáneamente  cuando tenemos varios grupos y así poder ahorrar tiempo y dinero. Este análisis por lo tanto permite comprobar si existen diferencias entre promedios de tres o más tratamientos y para ello se calcula el valor de F, y es equivalente al test de Student, salvo que éste último solamente sirve para dos grupos. El problema que desde ya tenemos que dejar establecido que cuando encontramos el valor de F sabremos si existen diferencias entre los grupos, pero no no nos dice entre cuales grupos, y por eso debemos aplicar posteriormente otros tests (en inglés “post hoc tests”).

Iniciamos también con un ejemplo:

Datos: 4 tratamientos (A, B, C, D) con 3 replicas (ubicados en tres filas) y  los valores para el grupo A son 5, 6 y 7 (los valores adyacentes a dicho grupo son los valores al cuadrado, para obtener la sumatoria de los cuadrados, igual para los grupos B, C y D).

A

x2

B

x2

C

x2

D

x2

5

25

5

25

4

16

6

36

6

36

4

16

5

25

4

16

7

49

5

25

3

9

6

36

Σx = 18

Σx2 = 110

Σx = 14

Σx2 = 66

Σx = 12

Σx2 = 50

Σx = 16

Σx2 = 88

f = 3, k = 4, n = 12

Debemos calcular:

1. Suma total de los cuadrados (STC):

Captura de pantalla 2015-10-07 a las 8.13.10 AM

Factor de corrección (FC): Captura de pantalla 2015-10-07 a las 8.14.30 AM

Captura de pantalla 2015-10-07 a las 8.17.09 AM

STC = 14

2. Suma de cuadrados dentro de los grupos (en inglés: “within sum of squares” WSS):

Captura de pantalla 2015-10-07 a las 9.24.52 AMCaptura de pantalla 2015-10-07 a las 9.28.49 AM

WSS = 7,34
3. Suma de cuadrados entre los grupos (between sum of squares (BSS):

Captura de pantalla 2015-10-07 a las 9.32.43 AM

Captura de pantalla 2015-10-07 a las 9.34.01 AM

BSS = 6,66

4. Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:

Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SS) grados de libertad (gl) Cuadrado medio (MS) Valor de F
Entre (Between) 6,66 3 2,22 2,42
Dentro (Within) 7,34 8 0,918
Total 14,0 11

De la tabla de valores F, Tabla 1,  F,05 = 4,07

el valor obtenido, con sus grados de libertad, es F3,8 = 2,42,  qué hacemos con la hipótesis nula?


Resultados con Systat

Analysis of Variance

Source             Sum-of-Squares   df  Mean-Square    F-ratio                   P

GRUPO              6.667                 3        2.222           2.424               0.141

Error                   7.333                 8        0.917

————————————————————————-

Least squares means.

LS Mean      SE        N

GRUPO$      =A                   6.000        0.553       3

GRUPO$      =B                   4.667        0.553       3

GRUPO$      =C                   4.000        0.553       3

GRUPO$      =D                   5.333        0.553       3


Cómo graficamos tres grupos analizados con Anova de una vía ?

ANOVA; ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VIA

COMPARACION DE MEDIAS.

TESTS DE SCHEFFÉ Y TUKEY.

Datos: 3 tratamientos con replicas (n)  DIFERENTES en cada grupo.

(valor adyacente a cada columna es el valor al cuadrado, para facilitar cálculos.

                    1                           2                          3


1,0    1                 4,5    20,25          1,5   2,25

3,0    9                 6,0    36              -2,5   6,25

-1,0    1                 3,5    12,25          -0,5   0,25

1,5    2,25             7,5     56,25          1,0   1

0,5    0,25             7,0     49               0,5   0,25

3,5  12,25             6,0  36                  5,5  30,25


åx = 8,5 åx 2=25,5       40    240             0    10

x = 1,4166                 5,7143                0

f= 6,7,5         k = 3,                 n = 18

1. Suma total de los cuadrados (SSC):

STC = åx2 - ( åx)2/n                                             Factor de corrección (CF): (å x)2/n

STC = (25,75 + 240 + 10) – (8,5 + 40 + 0)2 /18

STC = 275,75 – 130,68

STC = 145,07

2. Suma de cuadrados dentro de los grupos (within)

      WSS = åx2 -(åxk)2/nf
      WSS = 275,75 – ( 8,52/6 + 402/7 + 02 /5)

WSS = 275,75 – ( 12,0416 + 228,57 )

WSS = 35,1384

3. Suma de cuadrados entre los grupos (between)

      BSS = (åxk )2/nf     -   CF
      BSS = ( 8,52/6 + 402/7 + 02/5 ) – ( 48,5) 2 /18

BSS = 12,0416 + 228,57 – 130,68

BSS = 109,931

4. Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:

Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SS) grados de libertad (gl) Cuadrado medio (MS) Valor de F
Entre (Between) 109,93 2 54,965 23,46
Dentro (Within) 35,14 15 2,3426
Total 145,07 17

Cálculo de los grados de libertad:

gl between = número de grupos – 1

gl total = número de casos – 1

gl within = gl  total – gl between

MS between = SSbetween. / glbetween.

MS within = SSwithin./glwithin.

Valor F = MSbetween. /MSwithin.

F críticos, de la tabla 1: F2,15;0.01 = 6,36                     F2,15;0.005 = 7,70            por lo tanto:     p<0,005

Matriz de Diferencias de los promedios de grupos:

1                        2

2     4,2976

3 -1,41667         -5,71429

(Nota: diferencia del promedio del grupo 1 – promedio del grupo 2 =4,2976).

Teste de Scheffé:

Dos promedios presentan diferencias significativas si su diferencia excede el valor calculado por:

[(k-1)F0,05] 1/2[(1/n1 + 1/n2)S02 ]1/2                                                 k = número de promedios.
F2,15;0.05 = 3,68  (valor crítico obtenido de la tabla de valores de F)

S02 = 2,3424 (de cuadrado medio, within)

Comparación        diferencias de x         valorde Scheffé                     Dif. para ser significativa


1 vs. 2                         4,2976                  [(2)3,68]1/2[ (1/6 + 1/7)2,3424]1/2                     = 2,310

1 vs. 3                         1,4116                  [(2)3,68]1/2[ (1/6 + 1/5)2,3424]1/2                     = 2,5142

2 vs. 3                         5,714                     [(2)3,68]1/2[ (1/7 + 1/5)2,3424]1/2                     = 2,4312


No hay diferencias significativas entre grupos 1 vs. 3. Las otras dos comparaciones son significativas con este test de Scheffé.

Test de Tukey

Tukey = (yi -y1)  ± T Ö mse

Donde T es

T = 1/ Ö n * qk, n-k,1- a= 1/ Ö 6    (3,01) = 1,2288

El valor de q   (en este caso 3,01) se obtiene de tabla devalores para el test de Tukey. Al hacer estos cálculos con software estadístico, se obtiene los valores de p y debe solamente fijarse cuales son menores de 0,05 para considerarlos significativos, o menor según la significancia que ud. haya establecido.

T = 1,2288 * Ö 2,34246

T = 1,2288 * 1,5305

Del ejemplo anterior teníamos que la diferencia entre los grupos 1 vs 2 era de 4,2976 por lo tanto obtenemos:

4,2976 ± 1,8806

y esta expresión al no contener 0 hay diferencia significativaentre grupos 1 y 2 (p<0,05).

Cuando utilizar el test de Tukey ó el test de Scheffé?

Utilizar Tukey:

  • Cuando el tamaño de las muestras seleccionadas para cada grupo son iguales.
  • Cuando el interés fundamental es comparar promedios entre dos gruposy son múltiples las comparaciones que estamos haciendo. Por lo tanto este test de Tukey es el más utilizado, y al parecer, el más recomendado por los estadísticos, aunque al parecer aún nohay acuerdo.

Utilizar Scheffé:

  • El tamaño de los grupos seleccionados es diferente (ó seaen el ejemplo anterior era mejorr este test), y
  • Otras comparaciones, más que las simples comparaciones de dos promedios son de interés. A este tipo de comparaciones se les llama también contrastes.

Resultados con Systat

Effects coding used for categorical variables in model.

Categorical values encountered during processing are:

GRUPO (3 levels)

1,        2,        3

Dep Var: VALOR   N: 18   Multiple R: 0.871   Squared multiple R: 0.758

Analysis of Variance

Source             Sum-of-Squares   df      Mean-Square     F-ratio       P

GRUPO                 109.933         2           54.966          23.465       0.000

Error                        35.137        15            2.342

——————————————————————————

Note que la fuente de variación entre los grupos se denomina  en estos resultados con el nombre de GRUPO, que identifica a cada categoría analizada, 3 grupos en este caso lo que da 2 grados de libertad (df, delinglés degree of freedom), y también que la fuente de variación dentro de los grupos se denomina Error.

COL/

ROW GRUPO

1  1

2  2

3  3

Using least squares means.

Post Hoc test of VALOR

——————————————————————————-

Using model MSE of 2.342 with 15 df.

Matrix of pairwise mean differences:

1                 2             3

1          0.000

2          4.298       0.000

3         -1.417      -5.714       0.000

Tukey HSD Multiple Comparisons. Test de Tukey

Matrix of pairwise comparison probabilities:

1                2              3

1          1.000

2          0.000       1.000

3          0.306       0.000       1.000

——————————————————————————-

Using model MSE of 2.342 with 15 df.

Matrix of pairwise mean differences:

1              2                3

1          0.000

2          4.298       0.000

3         -1.417      -5.714       0.000

Scheffe Test.

Matrix of pairwise comparison probabilities:

1               2              3

1          1.000

2          0.001       1.000

3          0.338       0.000       1.000

——————————————————————————-

Tanto con Scheffé como con Tukey se encuentran diferencias significativas al comparar grupos 1 vs 2, y 2 vs 3; pero no existían diferencias entre los grupos 1 vs. 3. Analice porqué?

Gráficos en Anova.

Cajas para los tres grupos. Interprete los resultados obtenidos y su relación con el gráfico. Más o menos las cajas de los grupos 1 y 3 están a la misma altura, Por qué?

Este gráfico lo entrega en forma "automática" Systat, indicando promedio (el punto) y DE de cada grupo, no me gusta mucho porque no debieran unirse los distintos grupos ya que no hay continuidad entre ellos. Preferible el gráfico anterior, informa más y mejor.

Este gráfico lo entrega en forma “automática” Systat, indicando promedio (el punto) y DE de cada grupo, no me gusta mucho porque no debieran unirse los distintos grupos ya que no hay continuidad entre ellos. Preferible el gráfico anterior, informa más y mejor.

anova2Referencias bibliográficas.

  1. Kleinbaum DG, Kupper LL. Applied regression analysis and other multivariable methods. Duxbury Press, North Scituate, MA, USA, 1978.

ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VIAS

En los ejemplos anteriores teníamos un solo factor, pero muchas veces podemos analizar simultáneamente más de uno, por ejemplo puede interesararnos si existe diferencias entre hombres y mujeres (factor 1), y nivel socioeconómico (alto, medio y bajo), en el COPD, deniños que hemos seleccionado de la región metropolitana.

Plantee un problema con dos factores:
Cómo analizar estos datos? Con un ejemplo creemos siempre quese entiende mejor la estadística.

Ha sido realizado un estudio para demostrar el efecto de tres suplementos de mineral en la dieta de ratas albinas, machos y hembras. Para demostrar si dicho suplemento tiene algún efecto en el peso del riñón, el órgano fue pesado al momento de sacrificar al animal (día 90 de edad). Se evalúa si existe cambio de peso debido a los suplementos, y si existe diferencia por género.

Cuál es la hipótesis nula?
Control (1)          |Alimento A         |Alimento B

|                                      |

Machos     Hembras   |Machos     Hembras | Machos     Hembras

————————– |————————– |—————————

2,30             1,62        |   2,68         1,78         |   2,57             1,67

1,31             1,43        |   2,62         1,78         |   2,97             2,47

3,03             1,48        |   2,32         1,89         |   1,37             1,65

2,45             1,49        |   2,08         1,99         |   2,47             1,72

2,22             1,44        |   2,92         1,79         |   2,85             2,02

2,10             1,41        |   2,52         1,42         |   2,97             1,97

———————————————————————————–

åx = 13,41    8,87         15,14       10,65           15,2             11,5 (sumatoria de los grupos)

åx2 = 31,53 13,14          38,63        19,09           40,35           22,53(suma de cuadrados de cada grupo)

x = 2,24         1,48             2,52         1,78             2,53             1,92 (promedio de cada grupo)

åxc = 22,28                  åxa = 25,79                   åxb = 26,7 (sumatoria de valores por grupo)

åxc2 = 44,67                  åxa2 = 57,72                åxb2 = 62,88 (sumatoria de valores al cuadrado de cada grupo)

xc = 1,856                             xa = 2,15                     xb = 2,225 (promedio de cada grupo, incluye machos y hembras)

åxm = 43,75                       åxh = 31,02  (sumatorias de valores en machos, y hembras)

åxm2 = 110,50               åxh2 = 54,76 (sumatorias al cuadrado de valores de machos y hembras)

xm = 2,43                                 xh = 1,72 (promedios en machos y hembras)

Sumatorias por filas:

åxf1 = 7,55

åxf2 = 6,9

åxf3 = 6,72

åxf4 = 7,00

åxf5 = 7,99

åxf6 = 7,59

åxf7 = 5,07

åxf8 = 5,68

åxf9 = 5,02

åxf10 = 5,2

åxf11 = 5,25

åxf12 = 4,8

n = 36,     f = 6,     grupos= 3,         géneros = 2

1. Suma total de los cuadrados (STC):

STC = åx2 - ( åx)2/n                       Factor de corrección (CF): (å x)2/n

STC = (44,67+57,72+62,28) – (22,28+25,79+26,7)2 /36

STC = 164,67 -; 155,293

STC = 9,37

2. Suma de cuadrados entre los grupos de tratamiento (between):

BSS = (åx k)2/nf  -  CF

BSS = ( 22,282/12 +25,792/12 +26,72/12) – 155,293

BSS = 156,20 – 155,293

BSSt = 0,911

3. Suma de cuadrados entre los grupos, género (between)

BSS = (åx k)2/nf  - CF

BSS = ( 7,552/3 +6,92/3 +6,722/3 +7 2/3+7,992/3+7,592/3 +5,072/3 +5,68 2/3+5,022/3+5,22/3 +5,252/3 +4,8 2/3 ) – 155,293

BSSg = 4,535

4. Suma de cuadrados subtotal:

SSt    = (åxg /ng)2- CF

      =( 13,412/6 +15,142/6 +15,272/6+8,87 2/6+10,652/6 +11,52/6) – 155,29

= 5,446

5. Suma de cuadrados dentro de los grupos (within)

WSS = åx2 -(åxk)2/nf

WSS = (44,67+57,72+62,88) – 161,10

WSS = 3,89

Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:

Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SS) grados de libertad (gl) Cuadrado medio (MS) Valor de F
Entre (Between), tratamientos 0,911 2 0,455 3,273
Entre (Between) géneros 4,5 1 4,535 35,15
Interacción 0,037 2 0,019 0,698
Subtotal 5,446 5 0,918
Dentro (within) 3,89 30 0,129
total 9,377 35

F3,8 = 2,42, F,05 = 4,07
ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VIAS
La extracción total de lípidos de los dientes ha sido facilitado mediante la incubación preliminar de la muestra en solución de EDTA al 15% a pH 7.4 a 38°C durante 18 hrs. En orden de demostrarsi este procedimiento pudiera mejorar la extracción de lípidos desde muestras de alimentos, se realizó un experimento con tres muestras: A. róbalo fresco, B. róbalo apanado, C. brocolifresco. Cada análisis se repitió tres veces obteniéndose los siguientes resultados:

Método I                                 Método II

(Incubación en EDTA)         (Incubación con H2O)

——————————————————————–

A 0,635                                     0,642             1

0,634                                     0,621             2

0,574                                     0,445             3

B 5,576                                     5,591             4

5,906                                     6,343             5

6,059                                     6,224             6

C 0,812                                     0,894             7

0,814                                     0,818             8

0,806                                     0,922             9


åx = 21,816                             22,5

åx2 = 105,7903                      113,5453

x = 2,424                                     2,5

åxa = 3,551     åxb = 35,699      åxc = 5,066

åxa2 = 2,1304  åxb2 = 212,915  åxc2 = 4,290


xa = 0,592                 xb = 5,95                 xc = 0,844 (Promedios de grupos a, b y c)

åxIA = 1,843

åxIB = 17,541

åxIC = 2,432

åxIIA = 1,708

åxIIB = 18,158

åxIIC = 2,634

n = 18,             f = 9,             grupos = 3,                     métodos = 2
1. Suma total de los cuadrados (STC):

STC = åx2 -  ( åx)2/n                                                             Factor de corrección (CF): (å x)2/n

(21,816+22,5)2 /18 = 109,106

STC = (105,79 + 113,54) &ndash; (21,816 + 22,5)2 /36

STC = 110,230

2. Suma de cuadrados entre los métodos de tratamiento (between):

      BSS = (åxk )2/nf  - CF

BSS = ( 21,8162/9 + 22,52/9 ) – 109,106

BSSt = 109,6761

3. Suma de cuadrados subtotal:

SSS = (åxg )2/ng- CF

SSS = ( 1,8432/3 + 1,7082/3 + 17,5412 /3+ 18,1582/3 + 2,4322/3 + 2,6342/3 ) – 109,106

SSS = 218,855 – 109,106

SSS = 109,74932

4. Suma de cuadrados dentro de los grupos (within)

WSS = åx2 -(åxk)2/nf

WSS = ( 105,79 + 113,5453 ) -  ( 1,8432/3 + 1,708 2/3+ 17,5412/3 + 18,1582/3 + 2,4322 /3 + 2,6342/3)

WSS = 0,4803

Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:

Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SS) grados de libertad (gl) Cuadrado medio (MS) Valor de F
Métodos 0026 1 0,026 0,65
Alimentos 109,67,5 2 54,838 1370,95
InteracciónMétodos * Alim. 0,047 2 0,02361 0,5898
Subtotal 109,74 5
Dentro (within) 0,480 12 0,04002

F2,12,0.05 A,B,C = 3,88             F1,12,0.05 Métodos I y II = 4,75

Interpretar…

Cuáles eran las hipótesis de nulidad ?
Se aceptan ? Se rechazan ?


Análisis estadístico de dos vías, resultados conSystat.

SYSTAT Rectangular file C:\Archivos de programa\SYSTAT 8.0\ANOVA2V.SYD,

created Wed May 26, 1999 at 11:22:38, contains variables:

Categorical values encountered during processing are:

GRUPO$ (3 levels)

A, B, C

METODO$ (2 levels)

I, II

Dep Var: LIPIDOS   N: 18   Multiple R: 0.998   Squared multiple R: 0.996

Analysis of Variance

Source                         Sum-of-Squares   df  Mean-Square    F-ratio       P

GRUPO$                            109.644            2        54.822         1372.854       0.000

METODO$                            0.027           1        0.027              0.670         0.429

GRUPO$*METODO$           0.047          2          0.024             0.591         0.569

Error                                       0.479          12         0.040

——————————————————————————-


Tabla 1. Tabla de valores de F, 5%.

GL Num

GL Den

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 ¥
 1 161,448 199,50 215,707 224,583 230,162 233,986 236,768 238,883 240,543 241,882 248,013 254,314
 2 18,5128 19,000 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 19,3710 19,3848 19,3959 39,4458 19,4957
 3 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 8,8452 8,8123 8,7855 8,6602 8,5265
 4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 6,04106 5,9988 5,9644 5,8025 5,6281
 5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 4,8183 4,7725 4,7351 4,5581 4,3650
 6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 4,1468 4,0990 4,0600 3,7842 3,6689
 7 5,5915 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7870 3,7257 3,6767 3,6365 3,4445 3,2298
 8 5,3177 4,4590 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 3,4381 3,3881 3,3472 3,1503 2,9276
 9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 3,2296 3,1789 3,1373 2,9365 2,7067
10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 3,0717 3,0204 2,9782 2,7740 2,5379
11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 2,9480 2,8962 2,8536 2,6464 2,4045
12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 2,8486 2,7964 2,7534 2,5436 2,2962
13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 2,7669 2,7144 2,6710 2,4589 2,2064
14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1123 2,9582 2,8477 2,7642 2,6987 2,6458 2,6022 2,3879 2,1307
15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 2,6408 2,5876 2,5437 2,3275 2,0659
16 4,4940 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 2,5911 2,5377 2,4935 2,2756 2,0096
17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,8100 2,6987 2,6143 2,5480 2,4943 2,4499 2,2304 1,9604
18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 2,5102 2,4563 2,4117 2,1906 1,9168
19 4,3808 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 2,4768 2,4227 2,3779 2,1555 1,8780
20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 2,4471 2,3928 2,3479 2,1242 1,8432
30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 2,2662 2,2107 2,1646 1,9317 1,6223
40 4,0847 3,2317 2,8387 2,6060 2,4495 2,3359 2,2490 2,1802 2,1240 2,0772 1,8389 1,5089
50 4,0343 3,1826 2,7900 2,5572 2,4004 2,2864 2,1992 2,1299 2,0734 2,0261 1,7841 1,4383
60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 2,0970 2,0401 1,9926 1,7480 1,3893
70 3,9778 3,1277 2,7355 2,5027 2,3456 2,2312 2,1435 2,0737 2,0166 1,9689 1,7223 1,3529
80 3,9604 3,1108 2,7188 2,4859 2,3287 2,2142 2,1263 2,0564 1,9991 1,9512 1,7032 1,3247
90 3,9469 3,0977 2,7058 2,4729 2,3157 2,2011 2,1131 2,0430 1,9856 1,9376 1,6883 1,3020
100 3,9361 3,0873 2,6955 2,4626 2,3053 2,1906 2,1025 2,0323 1,9748 1,9267 1,6764 1,2832
¥ 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 1,9384 1,8799 1,8307 1,5705 1,0023

Tabla tomada de:  Weintrabu JA, Douglass CW, Gillings DB: “Bioestadística en salud bucodental” , OPS, 1989, Chapel Hill, NC, USA, pag:191.


ANALISIS DE VARIANZA DE MEDIDAS REPETIDAS

A veces realizamos a un mismo grupo de pacientes distintos tratamientos, o sea la variación es más importante entre los distintos tratamientos que entre los sujetos. Por ejemplo si quisiéramos determinar cuatro antibióticos que pueden bajar el nivel de s mutans en saliva,y le damos a los mismos pacientes (dejándolos descansar entre uno y otro antibiótico, déjelos que se recuperen !), cuatro antibióticos diferentes.

En el ejemplo que vamos a ilustrar este análisis tenemos cuatro sujetos que recibieron tres tratamientos diferentes por hipertensión pulmonar:

(hidrolacina se administró a las 48 hrs y después entre 3 y 6 meses (ahí tenemos dos grupos), el  otros  grupo,control, son los mismos pacientes antes del tratamiento.

Sujeto             Control                 Hidrolacina                     |        x                                 SS


48 hrs      3-6 Meses |


1                         22,2                         5,4             10,6    |     12,73                             147,95

2                         17,0                         6,3               6,2    |        9,83                               77,05

3                         14,1                         8,5                9,3   |       10,63                              18,35

4                          17,0                       10,7             12,3   |       13,33                               21,45


x = 17,58                     7,73                9,6  |       11,63            SS total =   289,82

Esta tabla incluye el promedio para cada grupo de tratamiento y para cada individuo con los tres tratamientos, también gran promedio de todos (11,63) y suma de cuadrados de los sujetos (289,82).

Por ejemplo SS para el sujeto 2:

SSt2 = S (S t2 - x2) 2

SS2 = (17 – 9,83)2 + (6,3 – 9,83) 2 +(6,2 – 9,83)2 = 77,05

1. La suma de cuadrados dentro de los sujetos (SSw) será :

SSw = SS1 + SS2 + SS3 + SS4

SSw = 147,95 + 77,05 +18,35 +21,45

SSw = 264,80 unidades2

2. La suma de cuadrados entre los grupos será:

SSb = m S (Ss – x) 2

SSb = 3 [(12,73 -11,63 ) 2 + (9,83 - 11,63 ) 2+ (10,63 - 11,63 ) 2 + (13,33 - 11,63 ) 2]

SSb = 25,02 unidades2
3. La suma total de los cuadrados será:

STC = SSw + SSb

STC = 264,80 + 25,02

STC = 289,82

4. Ahora calculamos SS para los tratamientos:

SSt = n S (T - x)2

SSt = 4 [(17,58 -11,63 ) 2 + (7,73 -  11,63 ) 2 + (9,60 -; 11,63 ) 2 ]

SSt = 218,93 unidades2

5. SS de los valores residuales:

SSr = SSw -SSt

SSr = 264,80 – 218,93

SSr = 45,87 unidades2
6. Con estos valores construimos la tabla de Anova

Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:

Fuente de Variación Suma de Cuadrados (SS) grados de libertad (gl) Cuadrado medio (MS) Valor de F
Entre Sujetos 25,02 3
Dentro de Sujetos

Tratamiento
Residual
265,80218,9345,87 826 109,477,65 14,31
Total 289,82 11

F2,6, 0.01 = 10,92  (F crítico de la tabla)


Resultados con Systat de Anova de medidas repetidas.

En esta figura tenemos unidos los tres grupos, control, con hidrolacinaa las 48 hrs. y los valores a los 3-6 meses. La línea une los valores promedios en cada período analizado.

En esta figura tenemos unidos los tres grupos, control, con hidrolacinaa las 48 hrs. y los valores a los 3-6 meses. La línea une los valores promedios en cada período analizado.

Univariate and Multivariate Repeated Measures Analysis

Within Subjects

—————

Source               SS       df          MS         F           P          G-G     H-F

a                  218.852      2      109.426    14.293   0.005   0.022   0.011

Error               45.935      6        7.656

Greenhouse-Geisser Epsilon:       0.6080

Huynh-Feldt Epsilon       :       0.8028

—————————————————-

El estadístico Greenhouse-Geisser (G-G) es un valor utilizado para ajustar los grados de libertad cuando la presunción de simetría compuesta no se cumple. Por otra parte Huynh-Feldt se ajusta cuando la premisa menos restrictiva es violada. El ideal es que G-G no sea muy diferente del valor de p que está  a su izquierda, y H-F debe ser parecidoa G-G, en su valor de p.


1. Cuál era la hipótesis nula ?
2. Explique los resultados.
3. Sugiera :

    A. Experimento donde sea aplicable Anova de una vía.
    B. Experimento donde sea aplicable Anova de dos vías (o más si quiere…).
    C. Experimento donde sea aplicable Anova de medidas repetidas.

 

StatisticalTables

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