UNIDAD DE AUTO APRENDIZAJE
para alumnos de Odontología, curso de Bioestadística.
 

ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA
Dr. Benjamín Martínez R.
Profesor de Bioestadística

ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VIA

INTRODUCCION

Iniciamos también con un ejemplo:

Datos: 4 tratamientos (A, B, C, D) con 3 replicas (ubicados en tres filas) y  los valores para el grupo A son 5, 6 y 7 (los valores adyacentes a dicho grupo son los valores al cuadrado, para obtener la sumatoria de los cuadrados, igual para los grupos B, C y D).
 
 

A                             x2	B                              x2	C                              x2	D                             x2
5                              25	5                             25	4                              16	6                              36
6                              36	4                              16	5                              25	4                              16
7                              49	5                              25	3                                9	6                              36
åx =18 åx2=110	14                          66	12                           50	16                          88

 Nota: suma de valores y suma de valores al cuadrado para cada grupo, en la última fila.

f = 3, k = 4, n = 12

Debemos calcular:

1. Suma total de los cuadrados (STC):
 

STC = åx² - ( åx)²/n                                                    Factor de corrección (CF): (å x)²/n

STC = (110 + 66 + 50 + 88) - (18 + 14 + 12 + 16)² /12

STC = 14

2. Suma de cuadrados dentro de los grupos (en inglés: "within sum of squares" WSS):

WSS = åx² -(åx_k)²/n_f
WSS = 314 – ( 18²/3 +14²/3 +12²/3+16 ²/3 )

WSS = 7,34
 
 

BSS = (åx_k )²/n_f– CF
BSS = ( 18²/3 +14²/3 +12²/3 +16² /3) – 300

BSS = 6,66
 

De la tabla de valores F, Tabla 1,  F_,05 = 4,07
el valor obtenido, con sus grados de libertad, es F^3,8 =2,42,  qué hacemos con la hipótesis nula?
 

                             Analysis of Variance

Source             Sum-of-Squares   df  Mean-Square    F-ratio                   P

GRUPO              6.667                 3        2.222           2.424               0.141

Error                   7.333                 8        0.917

-------------------------------------------------------------------------
 Least squares means.
                                            LS Mean      SE     N
  GRUPO$      =A                   6.000        0.553       3
  GRUPO$      =B                   4.667        0.553       3
  GRUPO$      =C                   4.000        0.553       3
  GRUPO$      =D                   5.333        0.553       3

Cómo graficamos tres grupos analizados con Anova de una vía ?
 
 
 

ANOVA – ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VIA
COMPARACION DE MEDIAS.
TESTS DE SCHEFFÉ Y TUKEY.
 

Datos: 3 tratamientos con replicas (n)  DIFERENTES en cada grupo.
(valor adyacente a cada columna es el valor al cuadrado, para facilitarcálculos.

                    1                         2                        3

            f= 6,7,5         k = 3,                 n = 18

1. Suma total de los cuadrados (SSC):

STC = åx² - ( åx)²/n                                             Factor de corrección (CF): (å x)²/n

STC = (25,75 + 240 + 10) - (8,5 + 40 + 0)² /18

STC = 275,75 - 130,68

STC = 145,07
 

2. Suma de cuadrados dentro de los grupos (within)

WSS = åx² -(åx_k)²/n_f
WSS = 275,75 - ( 8,5²/6 + 40²/7 + 0² /5)

WSS = 275,75 - ( 12,0416 + 228,57 )

WSS = 35,1384
 

BSS = (åx_k )²/n_f     -   CF
BSS = ( 8,5²/6 + 40²/7 + 0²/5 ) - ( 48,5) ² /18

BSS = 12,0416 + 228,57 - 130,68

BSS = 109,931
 

MS between = SS_between. / gl_between.
MS within = SS_within./gl_within.
Valor F = MS_between. /MS_within.

F críticos, de la tabla 1: F^2,15;0.01 = 6,36                     F^2,15;0.005 = 7,70            por lo tanto:     p<0,005

Matriz de Diferencias de los promedios de grupos:

        1                        2
2     4,2976
3 -1,41667         -5,71429
(Nota: diferencia del promedio del grupo 1 - promedio del grupo 2 =4,2976).
 

Teste de Scheffé:

Dos promedios presentan diferencias significativas si su diferencia excede el valor calculado por:
[(k-1)F_0,05] ^1/2[(1/n₁ + 1/n₂)S₀² ]^1/2                                                 k = número de promedios.
 
 

F^2,15;0.05 = 3,68  (valor crítico obtenido de la tabla de valores de F)
 

S₀² = 2,3424 (de cuadrado medio, within)
 

Comparación        diferencias de x         valorde Scheffé                     Dif. para ser significativa

Test de Tukey

 Tukey = (y_i -y₁)  ± T Ö mse
Donde T es
T = 1/ Ö n * q_{k, n-k,1- a}= 1/ Ö 6    (3,01) = 1,2288
El valor de q   (en este caso 3,01) se obtiene de tabla devalores para el test de Tukey. Al hacer estos cálculos con software estadístico, se obtiene los valores de p y debe solamente fijarse cuales son menores de 0,05 para considerarlos significativos, o menor según la significancia que ud. haya establecido.

T = 1,2288 * Ö 2,34246

T = 1,2288 * 1,5305

Del ejemplo anterior teníamos que la diferencia entre los grupos 1 vs 2 era de 4,2976 por lo tanto obtenemos:

4,2976 ± 1,8806

y esta expresión al no contener 0 hay diferencia significativaentre grupos 1 y 2 (p<0,05).

Cuando utilizar el test de Tukey ó el test de Scheffé?

Utilizar Tukey:

• Cuando el tamaño de las muestras seleccionadas para cada grupo soniguales.
• Cuando el interés fundamental es comparar promedios entre dos gruposy son múltiples las comparaciones que estamos haciendo. Por lo tantoeste test de Tukey es el más utilizado, y al parecer, el más recomendado por los estadísticos, aunque al parecer aún nohay acuerdo.

• El tamaño de los grupos seleccionados es diferente (ó seaen el ejemplo anterior era mejorr este test), y
• Otras comparaciones, más que las simples comparaciones de dos promedios son de interés. A este tipo de comparaciones se les llama también contrastes.

Effects coding used for categorical variables in model.

Categorical values encountered during processing are:
GRUPO (3 levels)
          1,        2,        3

Dep Var: VALOR   N: 18   Multiple R: 0.871   Squared multiple R: 0.758
 

                             Analysis of Variance

Source             Sum-of-Squares   df      Mean-Square     F-ratio       P

GRUPO                 109.933         2           54.966          23.465       0.000

Error                        35.137        15            2.342
------------------------------------------------------------------------------
Note que la fuente de variación entre los grupos se denomina  en estos resultados con el nombre de GRUPO, que identifica a cada categoría analizada, 3 grupos en este caso lo que da 2 grados de libertad (df, delinglés degree of freedom), y también que la fuente de variación dentro de los grupos se denomina Error.
 

COL/
ROW GRUPO
  1  1
  2  2
  3  3
Using least squares means.
Post Hoc test of VALOR
-------------------------------------------------------------------------------

Using model MSE of 2.342 with 15 df.
Matrix of pairwise mean differences:

                         1                 2             3
              1          0.000
              2          4.298       0.000
              3         -1.417      -5.714       0.000

Tukey HSD Multiple Comparisons. Test de Tukey
Matrix of pairwise comparison probabilities:

                         1                2              3
              1          1.000
              2          0.000       1.000
              3          0.306       0.000       1.000
-------------------------------------------------------------------------------

Using model MSE of 2.342 with 15 df.
Matrix of pairwise mean differences:

                         1              2                3
              1          0.000
              2          4.298       0.000
              3         -1.417      -5.714       0.000

Scheffe Test.
Matrix of pairwise comparison probabilities:

                         1               2              3
              1          1.000
              2          0.001       1.000
              3          0.338       0.000       1.000
-------------------------------------------------------------------------------
Tanto con Scheffé como con Tukey se encuentran diferencias significativas al comparar grupos 1 vs 2, y 2 vs 3; pero no existían diferencias entre los grupos 1 vs. 3. Analice porqué?

Gráficos en Anova.
Cajas para los tres grupos. Interprete los resultados obtenidos y su relación con el gráfico. Más o menos las cajas de los grupos 1 y 3 están a la misma altura, Por qué?

Este gráfico lo entrega en forma "automática" Systat, indicando promedio (el punto) y DE de cada grupo, no me gusta mucho porque no debieran unirse los distintos grupos ya que no hay continuidad entre ellos. Preferible el gráfico anterior, informa más y mejor.

Referencias bibliográficas.
 

1. Kleinbaum DG, Kupper LL. Applied regression analysis and other multivariable methods. Duxbury Press, North Scituate, MA, USA, 1978.

ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VIAS

En los ejemplos anteriores teníamos un solo factor, pero muchas veces podemos analizar simultáneamente más de uno, por ejemplo puede interesararnos si existe diferencias entre hombres y mujeres (factor 1), y nivel socioeconómico (alto, medio y bajo), en el COPD, deniños que hemos seleccionado de la región metropolitana.

Plantee un problema con dos factores:
 
 
 
 

Cómo analizar estos datos? Con un ejemplo creemos siempre quese entiende mejor la estadística.

Ha sido realizado un estudio para demostrar el efecto de tres suplementos de mineral en la dieta de ratas albinas, machos y hembras. Para demostrar si dicho suplemento tiene algún efecto en el peso del riñón, el órgano fue pesado al momento de sacrificar al animal (día 90 de edad). Se evalúa si existe cambio de peso debido a los suplementos, y si existe diferencia por género.

Cuál es la hipótesis nula?
 
 
 
 

Control (1)          |Alimento A         |Alimento B
                                     |                                      |
Machos     Hembras   |Machos     Hembras | Machos     Hembras
-------------------------- |-------------------------- |---------------------------
2,30             1,62        |   2,68         1,78         |   2,57             1,67
1,31             1,43        |   2,62         1,78         |   2,97             2,47
3,03             1,48        |   2,32         1,89         |   1,37             1,65
2,45             1,49        |   2,08         1,99         |   2,47             1,72
2,22             1,44        |   2,92         1,79         |   2,85             2,02
2,10             1,41        |   2,52         1,42         |   2,97             1,97
-----------------------------------------------------------------------------------

åx = 13,41    8,87         15,14       10,65           15,2             11,5 (sumatoria de los grupos)

åx² = 31,53 13,14          38,63        19,09           40,35           22,53(suma de cuadrados de cada grupo)

x = 2,24         1,48             2,52         1,78             2,53             1,92 (promedio de cada grupo)
 

åx_c = 22,28                  åx_a = 25,79                   åx_b = 26,7 (sumatoria de valores por grupo)

åx_c² = 44,67                  åx_a² = 57,72                åx_b² = 62,88 (sumatoria de valores al cuadrado de cada grupo)

x_c = 1,856                             x_a = 2,15                     x_b = 2,225 (promedio de cada grupo, incluye machos y hembras)

åx_m = 43,75                       åx_h = 31,02  (sumatorias de valores en machos, y hembras)

åx_m² = 110,50               åx_h² = 54,76 (sumatorias al cuadrado de valores de machos y hembras)

x_m = 2,43                                 x_h = 1,72 (promedios en machos y hembras)

Sumatorias por filas:
åx_f1 = 7,55

åx_f2 = 6,9

åx_f3 = 6,72

åx_f4 = 7,00

åx_f5 = 7,99

åx_f6 = 7,59

åx_f7 = 5,07

åx_f8 = 5,68

åx_f9 = 5,02

åx_f10 = 5,2

åx_f11 = 5,25

åx_f12 = 4,8

n = 36,     f = 6,     grupos= 3,         géneros = 2
 

1. Suma total de los cuadrados (STC):

STC = åx² - ( åx)²/n                       Factor de corrección (CF): (å x)²/n

STC = (44,67+57,72+62,28) - (22,28+25,79+26,7)² /36

STC = 164,67 -; 155,293

STC = 9,37

2. Suma de cuadrados entre los grupos de tratamiento (between):

BSS = (åx _k)²/n_f  -  CF
BSS = ( 22,28²/12 +25,79²/12 +26,7²/12) - 155,293

BSS = 156,20 - 155,293

BSS_t = 0,911

3. Suma de cuadrados entre los grupos, género (between)

BSS = (åx _k)²/n_f  - CF
BSS = ( 7,55²/3 +6,9²/3 +6,72²/3 +7 ²/3+7,99²/3+7,59²/3 +5,07²/3 +5,68 ²/3+5,02²/3+5,2²/3 +5,25²/3 +4,8 ²/3 ) - 155,293

BSS_g = 4,535

4. Suma de cuadrados subtotal:

SSt    = (åx_g /n_g)²- CF

=( 13,41²/6 +15,14²/6 +15,27²/6+8,87 ²/6+10,65²/6 +11,5²/6) - 155,29

= 5,446
 

WSS = åx² -(åx_k)²/n_f

WSS = (44,67+57,72+62,88) - 161,10

WSS = 3,89
 

Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:
 
 

Fuente de Variación	Suma de Cuadrados (SS)	grados de libertad (gl)	Cuadrado medio (MS)	Valor de F
Entre (Between), tratamientos	0,911	2	0,455	3,273
Entre (Between) géneros	4,5	1	4,535	35,15
Interacción	0,037	2	0,019	0,698
Subtotal	5,446	5	0,918
Dentro (within)	3,89	30	0,129
total	9,377	35

F^3,8 = 2,42, F_,05 = 4,07
 
 

ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VIAS
 
 

La extracción total de lípidos de los dientes ha sido facilitado mediante la incubación preliminar de la muestra en solución de EDTA al 15% a pH 7.4 a 38°C durante 18 hrs. En orden de demostrarsi este procedimiento pudiera mejorar la extracción de lípidos desde muestras de alimentos, se realizó un experimento con tres muestras: A. róbalo fresco, B. róbalo apanado, C. brocolifresco. Cada análisis se repitió tres veces obteniéndose los siguientes resultados:

Método I                                 Método II

(Incubación en EDTA)         (Incubación con H₂O)
--------------------------------------------------------------------
A 0,635                                     0,642             1

    0,634                                     0,621             2

    0,574                                     0,445             3
 

B 5,576                                     5,591             4

    5,906                                     6,343             5

    6,059                                     6,224             6
 

C 0,812                                     0,894             7

    0,814                                     0,818             8

    0,806                                     0,922             9

åx_a = 3,551     åx_b = 35,699      åx_c = 5,066

åx_a² = 2,1304  åx_b² = 212,915  åx_c² = 4,290

åx_IA = 1,843

åx_IB = 17,541

åx_IC = 2,432

åx_IIA = 1,708

åx_IIB = 18,158

åx_IIC = 2,634

n = 18,             f = 9,             grupos = 3,                     métodos = 2
 
 

1. Suma total de los cuadrados (STC):
 

STC = åx² -  ( åx)²/n                                                             Factor de corrección (CF): (å x)²/n
(21,816+22,5)² /18 = 109,106

STC = (105,79 + 113,54) &ndash; (21,816 + 22,5)² /36

STC = 110,230

 2. Suma de cuadrados entre los métodos de tratamiento (between):

BSS = (åx_k )²/n_f  - CF

BSS = ( 21,816²/9 + 22,5²/9 ) - 109,106

BSS_t = 109,6761
 

            SSS = (åx_g )²/n_g- CF

SSS = ( 1,843²/3 + 1,708²/3 + 17,541² /3+ 18,158²/3 + 2,432²/3 + 2,634²/3 ) - 109,106

SSS = 218,855 - 109,106

SSS = 109,74932
 

4. Suma de cuadrados dentro de los grupos (within)

WSS = åx² -(åx_k)²/n_f

WSS = ( 105,79 + 113,5453 ) -  ( 1,843²/3 + 1,708 ²/3+ 17,541²/3 + 18,158²/3 + 2,432² /3 + 2,634²/3)

WSS = 0,4803
 

 Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:
 
 

Fuente de Variación	Suma de Cuadrados (SS)	grados de libertad (gl)	Cuadrado medio (MS)	Valor de F
Métodos	0026	1	0,026	0,65
Alimentos	109,67,5	2	54,838	1370,95
Interacción  Métodos * Alim.	0,047	2	0,02361	0,5898
Subtotal	109,74	5
Dentro (within)	0,480	12	0,04002

F^2,12,0.05 A,B,C = 3,88             F^1,12,0.05 Métodos I y II = 4,75
 

Interpretar...

Cuáles eran las hipótesis de nulidad ?
 
 
 
 

Se aceptan ? Se rechazan ?
 
 
 

SYSTAT Rectangular file C:\Archivos de programa\SYSTAT 8.0\ANOVA2V.SYD,
created Wed May 26, 1999 at 11:22:38, contains variables:

Categorical values encountered during processing are:
GRUPO$ (3 levels)
   A, B, C
METODO$ (2 levels)
   I, II

Dep Var: LIPIDOS   N: 18   Multiple R: 0.998   Squared multiple R: 0.996
 

                                         Analysis of Variance

Source                         Sum-of-Squares   df  Mean-Square    F-ratio       P

GRUPO$                            109.644            2        54.822         1372.854       0.000
METODO$                            0.027           1        0.027              0.670         0.429
GRUPO$*METODO$           0.047          2          0.024             0.591         0.569

Error                                       0.479          12         0.040

-------------------------------------------------------------------------------

Tabla 1. Tabla de valores de F, 5%.
 

GL Num GL Den	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	¥
1	161,448	199,50	215,707	224,583	230,162	233,986	236,768	238,883	240,543	241,882	248,013	254,314
2	18,5128	19,000	19,1643	19,2468	19,2964	19,3295	19,3532	19,3710	19,3848	19,3959	39,4458	19,4957
3	10,1280	9,5521	9,2766	9,1172	9,0135	8,9406	8,8867	8,8452	8,8123	8,7855	8,6602	8,5265
4	7,7086	6,9443	6,5914	6,3882	6,2561	6,1631	6,0942	6,04106	5,9988	5,9644	5,8025	5,6281
5	6,6079	5,7861	5,4095	5,1922	5,0503	4,9503	4,8759	4,8183	4,7725	4,7351	4,5581	4,3650
6	5,9874	5,1433	4,7571	4,5337	4,3874	4,2839	4,2067	4,1468	4,0990	4,0600	3,7842	3,6689
7	5,5915	4,7374	4,3468	4,1203	3,9715	3,8660	3,7870	3,7257	3,6767	3,6365	3,4445	3,2298
8	5,3177	4,4590	4,0662	3,8379	3,6875	3,5806	3,5005	3,4381	3,3881	3,3472	3,1503	2,9276
9	5,1174	4,2565	3,8625	3,6331	3,4817	3,3738	3,2927	3,2296	3,1789	3,1373	2,9365	2,7067
10	4,9646	4,1028	3,7083	3,4780	3,3258	3,2172	3,1355	3,0717	3,0204	2,9782	2,7740	2,5379
11	4,8443	3,9823	3,5874	3,3567	3,2039	3,0946	3,0123	2,9480	2,8962	2,8536	2,6464	2,4045
12	4,7472	3,8853	3,4903	3,2592	3,1059	2,9961	2,9134	2,8486	2,7964	2,7534	2,5436	2,2962
13	4,6672	3,8056	3,4105	3,1791	3,0254	2,9153	2,8321	2,7669	2,7144	2,6710	2,4589	2,2064
14	4,6001	3,7389	3,3439	3,1123	2,9582	2,8477	2,7642	2,6987	2,6458	2,6022	2,3879	2,1307
15	4,5431	3,6823	3,2874	3,0556	2,9013	2,7905	2,7066	2,6408	2,5876	2,5437	2,3275	2,0659
16	4,4940	3,6337	3,2389	3,0069	2,8524	2,7413	2,6572	2,5911	2,5377	2,4935	2,2756	2,0096
17	4,4513	3,5915	3,1968	2,9647	2,8100	2,6987	2,6143	2,5480	2,4943	2,4499	2,2304	1,9604
18	4,4139	3,5546	3,1599	2,9277	2,7729	2,6613	2,5767	2,5102	2,4563	2,4117	2,1906	1,9168
19	4,3808	3,5219	3,1274	2,8951	2,7401	2,6283	2,5435	2,4768	2,4227	2,3779	2,1555	1,8780
20	4,3512	3,4928	3,0984	2,8661	2,7109	2,5990	2,5140	2,4471	2,3928	2,3479	2,1242	1,8432
30	4,1709	3,3158	2,9223	2,6896	2,5336	2,4205	2,3343	2,2662	2,2107	2,1646	1,9317	1,6223
40	4,0847	3,2317	2,8387	2,6060	2,4495	2,3359	2,2490	2,1802	2,1240	2,0772	1,8389	1,5089
50	4,0343	3,1826	2,7900	2,5572	2,4004	2,2864	2,1992	2,1299	2,0734	2,0261	1,7841	1,4383
60	4,0012	3,1504	2,7581	2,5252	2,3683	2,2541	2,1665	2,0970	2,0401	1,9926	1,7480	1,3893
70	3,9778	3,1277	2,7355	2,5027	2,3456	2,2312	2,1435	2,0737	2,0166	1,9689	1,7223	1,3529
80	3,9604	3,1108	2,7188	2,4859	2,3287	2,2142	2,1263	2,0564	1,9991	1,9512	1,7032	1,3247
90	3,9469	3,0977	2,7058	2,4729	2,3157	2,2011	2,1131	2,0430	1,9856	1,9376	1,6883	1,3020
100	3,9361	3,0873	2,6955	2,4626	2,3053	2,1906	2,1025	2,0323	1,9748	1,9267	1,6764	1,2832
¥	3,8415	2,9957	2,6049	2,3719	2,2141	2,0986	2,0096	1,9384	1,8799	1,8307	1,5705	1,0023

Tabla tomada de:  Weintrabu JA, Douglass CW, Gillings DB: "Bioestadística en salud bucodental" , OPS, 1989, Chapel Hill, NC, USA, pag:191.
 
 
 

A veces realizamos a un mismo grupo de pacientes distintos tratamientos, o sea la variación es más importante entre los distintos tratamientos que entre los sujetos. Por ejemplo si quisiéramos determinar cuatro antibióticos que pueden bajar el nivel de s mutans en saliva,y le damos a los mismos pacientes (dejándolos descansar entre uno y otro antibiótico, déjelos que se recuperen !), cuatro antibióticos diferentes.
En el ejemplo que vamos a ilustrar este análisis tenemos cuatro sujetos que recibieron tres tratamientos diferentes por hipertensión pulmonar:
(hidrolacina se administró a las 48 hrs y después entre 3 y 6 meses (ahí tenemos dos grupos), el  otros  grupo,control, son los mismos pacientes antes del tratamiento.

Sujeto             Control                 Hidrolacina                     |        x                                 SS

Esta tabla incluye el promedio para cada grupo de tratamiento y para cada individuo con los tres tratamientos, también gran promedio de todos (11,63) y suma de cuadrados de los sujetos (289,82).

Por ejemplo SS para el sujeto 2:

SS_t2 = S (S _t2 - x₂) ²

SS₂ = (17 - 9,83)² + (6,3 - 9,83) ² +(6,2 - 9,83)² = 77,05
 

1. La suma de cuadrados dentro de los sujetos (SSw) será :

SSw = SS₁ + SS₂ + SS₃ + SS₄

SSw = 147,95 + 77,05 +18,35 +21,45

SSw = 264,80 unidades²

2. La suma de cuadrados entre los grupos será:

SSb = m S (Ss - x) ²

SSb = 3 [(12,73 -11,63 ) ² + (9,83 - 11,63 ) ²+ (10,63 - 11,63 ) ² + (13,33 - 11,63 ) ²]

SSb = 25,02 unidades²
 
 

3. La suma total de los cuadrados será:

STC = SSw + SSb

STC = 264,80 + 25,02

STC = 289,82

4. Ahora calculamos SS para los tratamientos:

SSt = n S (T - x)²

SSt = 4 [(17,58 -11,63 ) ² + (7,73 -  11,63 ) ² + (9,60 -; 11,63 ) ² ]

SSt = 218,93 unidades²
 

5. SS de los valores residuales:

SSr = SSw -SSt

SSr = 264,80 - 218,93

SSr = 45,87 unidades²
 
 

6. Con estos valores construimos la tabla de Anova
Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:
 
 

Fuente de Variación	Suma de Cuadrados (SS)	grados de libertad (gl)	Cuadrado medio (MS)	Valor de F
Entre Sujetos	25,02	3
Dentro de Sujetos  Tratamiento Residual	265,80 218,93 45,87	8 2 6	109,47 7,65	14,31
Total	289,82	11

F_{2,6, 0.01} = 10,92  (F crítico de la tabla)

En esta figura tenemos unidos los tres grupos, control, con hidrolacinaa las 48 hrs. y los valores a los 3-6 meses. La línea une los valores promedios en cada período analizado.

Univariate and Multivariate Repeated Measures Analysis
 

Within Subjects
---------------

Source               SS       df          MS         F           P          G-G     H-F

a                  218.852      2      109.426    14.293   0.005   0.022   0.011
Error               45.935      6        7.656
 

Greenhouse-Geisser Epsilon:       0.6080
Huynh-Feldt Epsilon       :       0.8028
----------------------------------------------------
El estadístico Greenhouse-Geisser (G-G) es un valor utilizado para ajustar los grados de libertad cuando la presunción de simetría compuesta no se cumple. Por otra parte Huynh-Feldt se ajusta cuando la premisa menos restrictiva es violada. El ideal es que G-G no sea muy diferente del valor de p que está  a su izquierda, y H-F debe ser parecidoa G-G, en su valor de p.

1. Cuál era la hipótesis nula ?
 
 
 
 

2. Explique los resultados.
 
 
 
 

3. Sugiera :
    A. Experimento donde sea aplicable Anova de una vía.
 
 

    B. Experimento donde sea aplicable Anova de dos vías (o más si quiere...).
 
 
 
 

    C. Experimento donde sea aplicable Anova de medidas repetidas.
 
 
 
 
 

DR. BENJAMIN MARTINEZ R.